Una equació logarítmica és aquella on la incògnita apareix en l’argument d’un logaritme. Un exemple d’equació logarítmica és el següent:
\log_{3}{(x-1)}+\log_{3}{(x-1)}=\log_{3}{2x-2}
Per resoldre una equació logarítmica, s’agrupen els termes de l’equació aplicant les propietats dels logaritmes, amb la finalitat d’aconseguir un sol terme en cada membre format per un logaritme. Posteriorment es prenen antilogaritmes per transformar l’equació en una de més senzilla que s’ha de resoldre.
Les solucions d’aquesta darrera equació són solucions de l’equació logarítmica inicial sempre que els arguments dels logaritmes que formen els seus termes siguin posotius; per tant, totes les solucions s’han de comprovar. Vegem-ne alguns exemples.
Exemple 19 – Resol l’equació
\begin{aligned} \log{x}+\log{(x+2)}&=2\log{(x+2)} \end{aligned}
1r pas. Agrupam els termes de cada membre aplicant les propietats dels logaritmes. Tenim:
\begin{aligned} \log{x}+\log{(x+2)}&=2\log{(x+2)} \\ \log{x(x+2)}&=\log{(x+2)^2} \end{aligned}
2n pas. Prenem antilogaritmes i aconseguim una equació polinòmica:
\begin{aligned} \log{x(x+2)}&=\log{(x+2)^2} \\ x(x+2) &= (x+2)^2 \end{aligned}
3r pas. Resolem l’equació polinòmica.
\begin{aligned} x(x+2) &= (x+2)^2 \\ x^2+2x &= x^2+4x+4 \\ -2x &= 4 \\ 2x &= -4 \\ x &=-2 \end{aligned}
La solució de l’equació polinòmica és x=-2 .
4t pas. Comprovam que la solució que hem trobat és vàlida com a solució de l’equació logarítmica.
\begin{aligned} \log{-2}+\log{(-2+2)}&=2\log{(-2+2)} \end{aligned}
Com que hi ha alguns arguments que no són positius (de fet, no n’hi ha cap en aquest cas), la solució x=-2 no és vàlida. L’equació logarítmica inicial no té solució.
Exemple 20 – Resol l’equació
\begin{aligned} \log{(2x+4)} &= 2+\log{(x-1)} \end{aligned}
1r pas. Agrupam els termes de cada membre aplicant les propietats dels logaritmes. Tenim:
\begin{aligned} \log{(2x+4)} &= 2+\log{(x-1)} \\ \log{(2x+4)} &= 2\log{10}+\log{(x-1)} \\ \log{(2x+4)} &= \log{10^2}+\log{(x-1)} \\ \log{(2x+4)} &= \log{100}+\log{(x-1)} \\ \log{(2x+4)} &= \log{\big(100(x-1)\big)} \end{aligned}
2n pas. Prenem antilogaritmes i aconseguim una equació polinòmica:
\begin{aligned} \log{(2x+4)} &= \log{\big(100(x-1)\big)} \\ 2x+4 &= 100(x-1) \end{aligned}
3r pas. Resolem l’equació polinòmica.
\begin{aligned} 2x+4 &= 100(x-1) \\ 2x+4 &= 100x-100 \\ -98x &= -104 \\ 49x &= 52 \\ x &=\frac{52}{49} \end{aligned}
La solució de l’equació polinòmica és x=\frac{52}{49} .
4t pas. Comprovam que la solució que hem trobat és una solució vàlida per a l’equació logarítmica.
\begin{aligned} \log{(2\cdot\frac{52}{49}+4)} &= 2+\log{(\frac{52}{49}-1)} \end{aligned}
Com que tots els arguments dels logaritmes de l’equació són positius, la solució x=\frac{52}{49} és solució de l’equació ligarítmica inicial.
Activitats – equacions exponencials i logarítmiques